Question

15．已知A，B是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的兩個頂點，點P是雙曲線上異于A，B的一點，連接PO（O為坐標原點）交橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1于點Q，如果設直線PA，PB，QA的斜率分別為k₁，k₂，k₃，且k₁+k₂=-$\frac{15}{8}$，假設k₂＞0，則k₃的值為2．

Answer 1

分析 由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1可得兩個頂點A（-2，0），B（2，0）．設P（x₀，y₀），則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y²₀=1，可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4}{4}$=${{y}_{0}}^{2}$，于是k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$$+\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，．同理設Q（x₁，y₁），由k_OP=k_OQ得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$．，得到k_QA+k_QB=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，可得k_PA+k_PB+k_QA+k_QB=0，由k_PA+k_PB=-$\frac{15}{8}$，可得k_QA+k_QB=$\frac{15}{8}$．又k_QA•k_QB=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，聯(lián)立解得k_QA．

解答 解：由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，可得兩個頂點A（-2，0），B（2，0）．設P（x₀，y₀），則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y²₀=1，
可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4}{4}$=${{y}_{0}}^{2}$，
∴k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$$+\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，．
同理，設Q（x₁，y₁），
由k_OP=k_OQ得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$．，
∴k_QA+k_QB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-4}$=$-\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$，
∴k_PA+k_PB+k_QA+k_QB=0，
∵k_PA+k_PB=-$\frac{15}{8}$，∴k_QA+k_QB=$\frac{15}{8}$…①
又k_QA•k_QB=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$…②
聯(lián)立①②解得k₃=k_QA=2＞0．
故答案為：2．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的有關性質，考查橢圓的第三定義，考查學生靈活轉化問題的能力，屬于中檔題．