Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，a，b，c∈R，且a≠0．記M（a，b，c）為|f（x）|在[0，1]上的最大值，則$\frac{a+b+2c}{M（a，b，c）}$的最大值是2．

Answer 1

分析 先求出a+b+2c=f（0）+f（1），判斷出f（0）+f（1）＞0，通過討論f（0），f（1），M（a，b，c）的大小，從而求出代數(shù)式的最大值即可．

解答 解：a+b+2c=f（0）+f（1），為取得最大值，
顯然此表達(dá)式可取正值，不需要考慮負(fù)值的情況，
∴f（0）+f（1）＞0，
在x∈[0，1]上，最大的值可能為f（0），f（1），M（a，b，c）中的任何一個(gè)，
①若f（0）或f（1）取最大時(shí)，不妨設(shè)f（1）＜f（0）最大，
則M（a，b，c）=f（0），$\frac{f（0）+f（1）}{M（a，b，c）}$＜2，
②若f（0）=f（1），同時(shí)取最大，
則M（a，b，c）=f（0），$\frac{f（0）+f（1）}{M（a，b，c）}$=2，
③若M（a，b，c）取最大，
則f（0）＜M（a，b，c），f（1）＜M（a，b，c），
$\frac{f（0）+f（1）}{M（a，b，c）}$＜2，
∴最大值為2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，是一道中檔題．