Question

14．是否存在實數a，使得f（x）=log_a（ax-$\sqrt{x}$） 在[2，4]上是增函數？若存在，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 分類討論，考查內外函數的單調性，利用f（x）=log_a（ax-$\sqrt{x}$）（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[2，4]上是增函數，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：設t=ax-$\sqrt{x}$=a（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$，
當a＞1時，由于函數t=ax-$\sqrt{x}$在[2，4]是增函數，且函數t大于0恒成立，
故函數f （x）=log_a（ax-$\sqrt{x}$）在[2，4]是增函數，滿足條件．
當 1＞a＞0時，由題意可得函數t=ax-$\sqrt{x}$在[2，4]應是減函數，且函數t大于0，
故$\frac{1}{2a}$≥$\sqrt{4}$，且4a-2＞0，此時無解
綜上，實數a的取值范圍是（1，+∞）

點評 本題考查對數函數的單調性，考查復合函數的單調區(qū)間，難度中檔．