Question

5．給出下面的四個命題：
①函數(shù)$y=|{sin（{2x+\frac{π}{3}}）}|$的最小正周期是$\frac{π}{2}$
②函數(shù)$y=sin（{\frac{π}{3}-2x}）$在區(qū)間$[{0，\frac{π}{3}}）$上單調(diào)遞減
③$x=\frac{5π}{4}$是函數(shù)$y=sin（{2x+\frac{5π}{6}}）$的圖象的一條對稱軸．
④函數(shù)$f（x）=2sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{5}）$，若對任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值為2π
其中正確的命題個數(shù)（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①函數(shù)$y=|{sin（{2x+\frac{π}{3}}）}|$的最小正周期是$\frac{1}{2}×\frac{2π}{2}$=$\frac{π}{2}$，即可判斷出正誤；
②由$0＜x＜\frac{π}{3}$，可得$-\frac{π}{3}$＜$2x-\frac{π}{3}$$＜\frac{π}{3}$，可得y=$sin（2x-\frac{π}{3}）$單調(diào)遞增，即可得出函數(shù)$y=sin（{\frac{π}{3}-2x}）$=-$sin（2x-\frac{π}{3}）$在區(qū)間$[{0，\frac{π}{3}}）$上單調(diào)性，即可判斷出正誤；
③函數(shù)f（$\frac{5π}{4}$）=$sin（2×\frac{5π}{4}+\frac{5π}{6}）$≠±1，即可判斷出正誤．
④若對任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值為$\frac{1}{2}T$=2π，即可判斷出正誤．

解答 解：①函數(shù)$y=|{sin（{2x+\frac{π}{3}}）}|$的最小正周期是$\frac{π}{2}$，正確；
②函數(shù)$y=sin（{\frac{π}{3}-2x}）$=-$sin（2x-\frac{π}{3}）$，由$0＜x＜\frac{π}{3}$，可得$-\frac{π}{3}$＜$2x-\frac{π}{3}$$＜\frac{π}{3}$，可得y=$sin（2x-\frac{π}{3}）$單調(diào)遞增，因此函數(shù)$y=sin（{\frac{π}{3}-2x}）$=-$sin（2x-\frac{π}{3}）$在區(qū)間$[{0，\frac{π}{3}}）$上單調(diào)遞減，正確；
③當(dāng)$x=\frac{5π}{4}$時，函數(shù)f（$\frac{5π}{4}$）=$sin（2×\frac{5π}{4}+\frac{5π}{6}）$=-$sin\frac{π}{3}$≠±1，因此$x=\frac{5π}{4}$不是圖象的一條對稱軸，不正確．
④函數(shù)$f（x）=2sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{5}）$，若對任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值為$\frac{1}{2}T$=2π，正確．
其中正確的命題個數(shù)3．
故選：C．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．