Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=（e^x-1）（x-1）^k，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y=g（x），并證明f（x）≥g（x）恒成立；
（Ⅱ）當(dāng)k=2時(shí)，設(shè)三角形A，B，C是函數(shù)y=f（x），x∈（2，+∞）圖象上三個(gè)不同的點(diǎn)，求證：△ABC是鈍角三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；將y=f（x）與y=g（x）作差，討論x=1，x＞1，x＜1，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；
（Ⅱ）判斷f（x）是（2，+∞）的單調(diào)增函數(shù)，運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得出$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$＜0，即cosB＜0，∠B為鈍角，△ABC為鈍角三角形．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)f（x）=（e^x-1）（x-1），
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x（x-1）+（e^x-1），
可得在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=e-1，切點(diǎn)為（1，0），
則在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=（e-1）（x-1）；
由f（x）-g（x）=（e^x-1））（x-1）-（e-1）（x-1）=（e^x-e）（x-1），
當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=g（1）；當(dāng)x＞1時(shí)，x-1＞0，e^x＞e，則（e^x-e）（x-1）＞0；
當(dāng)x＜1時(shí)，x-1＜0，e^x＜e，則（e^x-e）（x-1）＞0．
綜上可得f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃
由f（x）=（e^x-1）（x-1）²，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x（x-1）²+2（e^x-1）（x-1）=（x-1）（xe^x+e^x-2），
由x＞2可得，x-1＞0，e^x＞e²＞2，xe^x+e^x-2＞0，
即有f′（x）＞0，
可得f（x）是（2，+∞）的單調(diào)增函數(shù)，
即有f（x₁）＜f（x₂）＜f（x₃），
$\overrightarrow{BA}$=（x₁-x₂，f（x₁）-f（x2）），$\overrightarrow{BC}$=（x₃-x₂，f（x₃）-f（x₂）），
$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（f（x₁）-f（x₂））（f（x₃）-f（x₂））
由x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₃）-f（x₂）＞0，
可得$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$＜0，即cosB＜0，∠B為鈍角．
故△ABC為鈍角三角形

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和函數(shù)的單調(diào)性，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算及幾何意義，以及單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．