Question

5．已知$\overrightarrow{a}$為單位向量，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$；
（2）若$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為45°，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（3）若若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$垂直，求若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 （1）討論當(dāng)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為0°時(shí)，當(dāng)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為180°時(shí)，由向量的數(shù)量積的定義，計(jì)算即可得到所求值；
（2）運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到所求值；
（3）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，以及向量的夾角公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，可得
當(dāng)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為0°時(shí)，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{2}$；
當(dāng)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為180°時(shí)，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\sqrt{2}$；
（2）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=1•$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+|$\overrightarrow$|²=1+2+2=5，
即|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$；
（3）由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=0得$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為α，
則cosα=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{1}{1•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和模的求法，注意討論向量同向或反向，考查向量的夾角的求法，注意運(yùn)用夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．