Question

7．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為A，P（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{3}$）是C上的一點(diǎn)，以AP為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（|k|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$）與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，且線段OM的中點(diǎn)與線段AB的中點(diǎn)重合，求|OM|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于以AP為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，可得$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{AF}$=0，再由點(diǎn)P（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{3}$）在橢圓上，聯(lián)立可得a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出A，B中點(diǎn)坐標(biāo)，得到M坐標(biāo)，把M坐標(biāo)代入橢圓方程，可得m與k的關(guān)系，把|OM|化為含有k的代數(shù)式，結(jié)合已知k的范圍求得|OM|的取值范圍．

解答 解：（1）A（0，b）．
∵以AP為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，∴PF⊥AF，
∴$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{AF}$=（c-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，-$\frac{3}$）•（c，-b）=c（c-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$）+$\frac{^{2}}{3}$=0．
把點(diǎn)P（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{3}$）代入橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
得$\frac{32}{9{a}^{2}}+\frac{1}{9}=1$，解得a²=4，
∴b²+c²=4，可得b²=4-c²，代入c（c-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$）+$\frac{^{2}}{3}=0$，解得c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）如圖，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0．
△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-4）=32k²-8m²+16＞0，即4k²-m²+2＞0  ①．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m=k•\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}+2m$=$\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$．
∴AB中點(diǎn)G（$-\frac{2km}{1+2{k}^{2}}，\frac{m}{1+2{k}^{2}}$），
則M（$-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}，\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$），
∵M(jìn)在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$上，
∴$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}+\frac{2{m}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}=1$，整理得：${m}^{2}=\frac{1+2{k}^{2}}{2}$．
把${m}^{2}=\frac{1+2{k}^{2}}{2}$代入①得，$4{k}^{2}-\frac{1+2{k}^{2}}{2}+2＞0$恒成立．
∴|OM|=$\sqrt{（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}+（\frac{2m}{1+2{k}^{2}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{16{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}•\frac{1+2{k}^{2}}{2}+\frac{4}{（1+2{k}^{2}）^{2}}•\frac{1+2{k}^{2}}{2}}$
=$\sqrt{\frac{8{k}^{2}+2}{2{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{4（2{k}^{2}+1）-2}{2{k}^{2}+1}}=\sqrt{4-\frac{2}{2{k}^{2}+1}}$．
∵|k|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴1≤2k²+1≤2，則$4-\frac{2}{2{k}^{2}+1}∈[2，3]$，
∴|OM|的取值范圍為$[\sqrt{2}，\sqrt{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查了推理論證能力與計(jì)算能力，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，屬于難題．