Question

7．如圖，四邊形為邊長(zhǎng)為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的圓O交于C，F(xiàn)，連接CF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：E是AB的中點(diǎn)；
 （2）求線段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠CDO=∠FDO，BC是的切線，且CF是圓D的弦，得到$∠BCE=\frac{1}{2}∠CDF$，即∠CDO=∠BCE，得到兩個(gè)三角形全等，得到線段相等，得到結(jié)論．
（2）根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，得到兩個(gè)三角形相似，得到對(duì)應(yīng)邊成比例，根據(jù)所給的長(zhǎng)度，代入比例式，得到要求的線段．然后利用勾股定理在直角三角形BFE中求EF即可．

解答 （1）證明：連接DF，DO，則∠CDO=∠FDO，
因?yàn)锽C是的切線，且CF是圓D的弦，
所以$∠BCE=\frac{1}{2}∠CDF$，即∠CDO=∠BCE，
故Rt△CDO≌Rt△BCE，
所以EB=OC=$\frac{1}{2}$AB．
所以E是AB的中點(diǎn)．
（2）解：連接BF，
∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB
∴△FEB∽△BEC，
得$\frac{BF}{BE}=\frac{CB}{CE}$，
∵ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，
∴BF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a．
∵BE=$\frac{1}{2}$a，
∴EF=$\sqrt{B{E}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}a）^{2}-（\frac{\sqrt{5}a}{5}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{5}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}}{20}}$=$\frac{\sqrt{5}a}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，考查圓周角定理，本題解題的關(guān)鍵是得到三角形全等和三角形相似，本題是一個(gè)中檔題目．