Question

3．已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x均有f（x）=kf（x+2），其中k為常數(shù)．
（1）若k=-1，函數(shù)f（x）是否具有周期性？若是，求出其周期；
（2）在（1）的條件下，又知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=$\frac{1}{2}$x，則方程f（x）=-$\frac{1}{2}$在區(qū)間[0，2016]上有多少個解？（寫出結(jié)論，不需過程）
（3）若k為負(fù)常數(shù)，且當(dāng)0≤x≤2時，f（x）=x（x-2），求f（x）在[-3，3]上的解析式，并求f（x）的最小值與最大值．

Answer 1

分析 （1）由f（x+2）=-f（x）可推知f（x+4）=f（x）得證．
（2）依題意求出f（x）在[-1，3）上的解析式，進(jìn)而求出$f（x）=-\frac{1}{2}$時x的值．再根據(jù)函數(shù)的周期性求出在[0，2016]上的所有x的個數(shù)．
（3）根據(jù)條件可得f（x）=$\frac{1}{k}$f（x-2），求出f（x）在[-3，3]上的表達(dá)式，通過表達(dá)式研究單調(diào)性．即可求出f（x）的最小值與最大值．

解答 解：（1）若k=-1，則f（x）=-f（x+2），即f（x+2）=-f（x），
即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)．
（2）當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=$\frac{1}{2}$x，
設(shè)-1≤x≤0，則0≤-x≤1，
∴f（-x）=（-x）=-x．
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-$\frac{1}{2}$x，即f（x）=$\frac{1}{2}$x．故f（x）=$\frac{1}{2}$x（-1≤x≤1）
又設(shè)1＜x＜3，則-1＜x-2＜1，
∴f（x-2）=$\frac{1}{2}$（x-2），
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f[（-x）+2]=-[-f（-x）]=-f（x），
∴-f（x）=$\frac{1}{2}$（x-2），∴f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-2）（1＜x＜3）．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x，-1≤x≤1}\\{-\frac{1}{2}（x-2），1＜x＜3}\end{array}\right.$
由f（x）=-$\frac{1}{2}$，解得x=-1．
∵f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
故f（x）=-$\frac{1}{2}$的所有x=4n-1（n∈Z）．
令0≤4n-1≤2016，則$\frac{1}{4}$≤n≤504$\frac{1}{4}$，
又∵n∈Z，∴1≤n≤504（n∈Z），
∴在[0，2016]上共有504個x使f（x）=-$\frac{1}{2}$．
（3）對任意實數(shù)x，f（x）=kf（x+2），
∴f（x-2）=kf（x），
∴f（x）=$\frac{1}{k}$f（x-2）．
當(dāng)-2≤x＜0時，0≤x+2＜2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
當(dāng)-3≤x＜-2時，-1≤x+2＜0，f（x）=kf（x+2）=k²（x+2）（x+4）．
當(dāng)2≤x≤3 時，0≤x-2≤1，f（x-2）=kf（x）=（x-2）（x-4），故f（x）=$\frac{1}{k}$（x-2）（x-4）．
綜上可得，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{k^2}（x+2）（x+4），-3≤x＜-2}\\{kx（x+2），-2≤x＜0}\\{x（x-2），0≤x＜2}\\{\frac{1}{k}（x-2）（x-4），2≤x≤3}\end{array}}$
∵k＜0，
∴f（x）在[-3，-1]與[1，3]上為增函數(shù)，在[-1，1]上為減函數(shù)．
則函數(shù)f（x）在[-3，3]上的單調(diào)性可知，
f（x）在x=-3或x=1處取最小值f（-3）=-k²或f（1）=-1，
而在x=-1或x=3處取最大值f（-1）=-k或f（3）=-$\frac{1}{k}$，
故有：①k＜-1時，f（x）在x=-3處取最小值f（-3）=-k²，在x=-1處取最大值f（-1）=-k；
②k=-1時，f（x）在x=-3與x=1處取最小值f（-3）=f（1）=-1，在x=-1與x=3處取最大值f（-1）=f（3）=1；
③-1＜k＜0時，f（x）在x=1處取最小值f（1）=-1，在x=3處取最大值f（3）=-$\frac{1}{k}$．

點評 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了換元的思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想，求f（x）在[-3，3]上的表達(dá)式是本題的難點和易錯點．