Question

12．已知函數(shù)f（x）=aln（x-a）-$\frac{1}{2}$x²+x（a＜0）．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求f（x）在[-$\frac{3}{2}$，2]上的最小值（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.6931）；
（2）若函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=1代入f（x），然后對(duì) f（x） 進(jìn)行求導(dǎo)，令 f′（x）=0，可得極值點(diǎn)，再與端點(diǎn)值進(jìn)行比較，就可得出f（x）的最小值．
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為零，由只有一個(gè)可以確定兩個(gè)極值為同號(hào)．

解答 解：（1）∵a=-2
∴f（x）=-2ln（x+2）-$\frac{1}{2}$x²+x
∴$f′（x）=\frac{-2}{x+2}-x+1$=$-\frac{{x}^{2}+x}{x+2}$
令f′（x）=0，x=0，x₂=-1
f（x）有兩個(gè)極值f（0）=-2ln2，f（-1）=$-\frac{3}{2}$
f（x）兩個(gè)端點(diǎn)處的值為f（2）=-2ln4=-4ln2，f（-$\frac{3}{2}$）=2ln2-$\frac{21}{8}$
∴f（x）的最小值為-4ln2
（2）定義域?yàn)椋╝，+∞）
f′（x）=$\frac{a}{x-a}-x+1$
=$-\frac{{x}^{2}-（a+1）x}{x-a}$
=$-\frac{x（x-a-1）}{x-a}$
令f′（x）=0．則x₁=0，x₂=a+1
∵f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
則f（x）的兩個(gè)極值均為正或負(fù)
f（0）=aln（-a）
f（a+1）=-$\frac{1}{2}$a²$+\frac{1}{2}$
∴f（0）-f（a+1）＞0
即aln（-a）（$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{1}{2}$）＞0
即ln（-a）（a-1）（a+1）＞0
∴$\left\{\begin{array}{l}{ln（-a）＞0}\\{（a-1）（a+1）＞0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{ln（-a）＜0}\\{（a-1）（a+1）＜0}\end{array}\right.$
由此得a＜-1或-1＜a＜0
∴a的范圍是a＜-1或-1＜a＜0

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了對(duì)導(dǎo)數(shù)的求解和對(duì)只有一個(gè)零點(diǎn)的理解，屬于經(jīng)常接觸的題目，可以記住此類型的對(duì)應(yīng)結(jié)論．