Question

2．圓C過點(diǎn)A（6，4），B（1，-1），且圓心在直線l：x-5y+7=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）P為圓C上的任意一點(diǎn)，定點(diǎn)Q（7，0），求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)所求圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，代入坐標(biāo)，可得圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（2）利用代入法，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（1）設(shè)所求圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²．由題意得$\left\{\begin{array}{l}{（6-a）^{2}+（0-b）^{2}={r}^{2}}\\{（1-a）^{2}+（5-b）^{2}={r}^{2}}\\{2a-7b+8=0}\end{array}\right.$----------2分
解得a=3，b=2，r=$\sqrt{13}$--------------4分
所以所求圓的方程是（x-3）²+（y-2）²=13．---------------------5分
（2）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀）
M為線段PQ的中點(diǎn)，則x₀=2x-8，y₀=2y，-----------------------------（8分）
P（2x-8，2y）代入圓C中得（2x-7-3）²+（2y-2）²=13--------------9分
即線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為（x-5）²+（y-1）²=$\frac{13}{4}$．-----------10分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查代入法的運(yùn)用，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系是關(guān)鍵．