Question

1．已知函數(shù)f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）滿足f（$\frac{8π}{3}$）=f（$\frac{14π}{3}$），且在區(qū)間（$\frac{8π}{3}$，$\frac{14π}{3}$）內(nèi)有最大值但沒(méi)有最小值，給出下列四個(gè)命題：
p₁：f（x）在區(qū)間[0，2π]上單調(diào)遞減；
p₂：f（x）的最小正周期是4π；
p₃：f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對(duì)稱；
p₄：f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{4π}{3}$，0）對(duì)稱．
其中的真命題是p₂．

Answer 1

分析 根據(jù)條件f（$\frac{8π}{3}$）=f（$\frac{14π}{3}$），求出函數(shù)關(guān)于$\frac{11π}{3}$對(duì)稱，利用函數(shù)的對(duì)稱性求出ω的值，然后利用函數(shù)單調(diào)性，周期性，對(duì)稱性的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵f（$\frac{8π}{3}$）=f（$\frac{14π}{3}$），
∴函數(shù)關(guān)于x=$\frac{\frac{8π}{3}+\frac{14π}{3}}{2}$=$\frac{11π}{3}$對(duì)稱，
∵在區(qū)間（$\frac{8π}{3}$，$\frac{14π}{3}$）內(nèi)有最大值但沒(méi)有最小值，
∴f（$\frac{11π}{3}$）=2，
即2cos（$\frac{11π}{3}$ω+$\frac{π}{6}$）=2，
則$\frac{11π}{3}$ω+$\frac{π}{6}$=2kπ，
即$\frac{11π}{3}$ω=-$\frac{π}{6}$+2kπ，
則ω=$\frac{3}{11}$（2k-$\frac{1}{6}$），
∵在區(qū)間（$\frac{8π}{3}$，$\frac{14π}{3}$）內(nèi)有最大值但沒(méi)有最小值，
∴$\frac{14π}{3}$-$\frac{11π}{3}$≤$\frac{T}{2}$，
即T≥2π，
即$\frac{2π}{ω}$≥2π，則0＜ω≤1，
當(dāng)k=0時(shí)，ω=-$\frac{3}{22}$不成立，
當(dāng)k=1時(shí)，ω=$\frac{3}{11}$×（2-$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)k=2時(shí)，ω=$\frac{3}{11}$×（2×2-$\frac{1}{6}$）=$\frac{23}{22}$＞1不成立，
故ω=$\frac{1}{2}$，
則f（x）=2cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），
p₁：當(dāng)0≤x≤2π，則0≤$\frac{1}{2}$x≤π，$\frac{π}{6}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，此時(shí)函數(shù)f（x）不單調(diào)，故f（x）在區(qū)間[0，2π]上單調(diào)遞減，錯(cuò)誤；
p₂：f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π；正確；
p₃：當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（$\frac{π}{2}$）=2cos（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$）=2cos$\frac{5π}{12}$不是最大值或最小值，即f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對(duì)稱，錯(cuò)誤；
p₄：當(dāng)x=$\frac{4π}{3}$時(shí)，f（$\frac{4π}{3}$）=2cos（$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=2cos$\frac{5π}{6}$≠0，則f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{4π}{3}$，0）對(duì)稱，錯(cuò)誤．
故答案為：p₂

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，利用三角函數(shù)的對(duì)稱性求出ω的值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．