3.已知點(diǎn)A(0,-1),B(3,0),C(1,2),平面區(qū)域P是由所有滿足$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$(2<λ≤m,2<μ≤n)的點(diǎn)M組成的區(qū)域,若區(qū)域P的面積為16,則m+n的最小值為4+2$\sqrt{2}$.

分析 設(shè)M(x,y),作出平面區(qū)域,根據(jù)面積得出關(guān)于m,n的等式,利用基本不等式得出最值.

解答 解:設(shè)M(x,y),$\overrightarrow{AB}$=(3,1),$\overrightarrow{AC}$=(1,3).|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{10}$.
cos<$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$>=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3}{5}$,∴sin<$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$>=$\frac{4}{5}$.
令$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AC}$,以AM,AN為鄰邊作平行四邊形AMEN,
令$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AQ}=n\overrightarrow{AC}$,以AP,AQ為鄰邊作平行四邊形APGQ,
∵$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$(2<λ≤m,2<μ≤n),
∴符合條件的M組成的區(qū)域是平行四邊形EFGH,如圖所示.
∴$\sqrt{10}$(m-2)•$\sqrt{10}$(n-2)×$\frac{4}{5}$=16.即(m-2)(n-2)=2.
∵(m-2)(n-2)≤$\frac{(m+n-4)^{2}}{4}$,∴2≤$\frac{(m+n-4)^{2}}{4}$,
解得m+n≥4+2$\sqrt{2}$.
故答案為:4+2$\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的幾何意義,基本不等式,根據(jù)區(qū)域面積得出關(guān)于m,n的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

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