Question

3．已知點(diǎn)A（0，-1），B（3，0），C（1，2），平面區(qū)域P是由所有滿足$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（2＜λ≤m，2＜μ≤n）的點(diǎn)M組成的區(qū)域，若區(qū)域P的面積為16，則m+n的最小值為4+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)M（x，y），作出平面區(qū)域，根據(jù)面積得出關(guān)于m，n的等式，利用基本不等式得出最值．

解答 解：設(shè)M（x，y），$\overrightarrow{AB}$=（3，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，3）．|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{10}$．
cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3}{5}$，∴sin＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{4}{5}$．
令$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AC}$，以AM，AN為鄰邊作平行四邊形AMEN，
令$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=n\overrightarrow{AC}$，以AP，AQ為鄰邊作平行四邊形APGQ，
∵$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（2＜λ≤m，2＜μ≤n），
∴符合條件的M組成的區(qū)域是平行四邊形EFGH，如圖所示．
∴$\sqrt{10}$（m-2）•$\sqrt{10}$（n-2）×$\frac{4}{5}$=16．即（m-2）（n-2）=2．
∵（m-2）（n-2）≤$\frac{（m+n-4）^{2}}{4}$，∴2≤$\frac{（m+n-4）^{2}}{4}$，
解得m+n≥4+2$\sqrt{2}$．
故答案為：4+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的幾何意義，基本不等式，根據(jù)區(qū)域面積得出關(guān)于m，n的關(guān)系是解題關(guān)鍵．