Question

6．過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)（A在y軸左側(cè)），則$\frac{{|{AF}|}}{{|{FB}|}}$=$3-2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，求出A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用拋物線的定義得出$\frac{{|{AF}|}}{{|{FB}|}}$=$\frac{{y}_{1}+\frac{p}{2}}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)直線l的方程為：x=y-$\frac{p}{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由x=y-$\frac{p}{2}$，代入x²=2py，可得y²-3py+$\frac{1}{4}$p²=0，
∴y₁=$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$p，y₂=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$p，
從而，$\frac{{|{AF}|}}{{|{FB}|}}$=$\frac{{y}_{1}+\frac{p}{2}}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$=$3-2\sqrt{2}$．
故答案為：$3-2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，利用拋物線的定義，得出$\frac{{|{AF}|}}{{|{FB}|}}$=$\frac{{y}_{1}+\frac{p}{2}}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$是解題的關(guān)鍵．