Question

16．如圖，在?ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{EF}$；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=4，∠DAB=60°，分別求|$\overrightarrow{EF}$|和$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{FE}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知結(jié)合向量減法的三角形法則得答案；
（2）由（1）結(jié)合$|\overrightarrow{EF}{|}^{2}={\overrightarrow{EF}}^{2}$，展開后代入數(shù)量積公式求解．再由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\frac{2}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow）$，展開多項式乘多項式后代入數(shù)量積公式求解．

解答 解：（1）如圖，
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{CE}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$=$-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$；
（2）∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=4，∠DAB=60°，
∴$|\overrightarrow{EF}{|}^{2}=（\frac{1}{3}\overrightarrow-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}）^{2}$=$\frac{1}{9}|\overrightarrow{|}^{2}-\frac{4}{9}\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\frac{4}{9}|\overrightarrow{a}{|}^{2}$
=$\frac{16}{9}-\frac{4}{9}×1×4×cos60°+\frac{4}{9}$=$\frac{4}{3}$．
∴|$\overrightarrow{EF}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{FE}$=$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\frac{2}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow）$=$\frac{2}{3}$$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$$+\frac{1}{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow$$-\frac{1}{3}$$|\overrightarrow{|}^{2}$
=$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×1×4×cos60°-\frac{16}{3}$=$-\frac{8}{3}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量加法、減法的三角形法則，是中檔題．