Question

11．如圖：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC．四邊形BB₁C₁C為正方形，設(shè)AB₁的中點為D，B₁C∩BC₁=E．求證
（1）DE∥平面AA₁C₁C
（2）BC₁⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析 （1）由正方形性質(zhì)得E為B₁C的中點，從而DE∥AC，由此能證明DE∥平面AA₁C₁C．
（2）由線面垂直得AC⊥CC₁，由AC⊥BC，得AC⊥平面BCC₁B₁，由此能證明BC₁⊥平面AB₁C．

解答 證明：（1）因為四邊形BB₁C₁C為正方形，B₁C∩BC₁=E，所以E為B₁C的中點，
又D為AB₁的中點，因此DE∥AC．
又因為DE?平面AA₁C₁C，AC?平面AA₁C₁C，
所以DE∥平面AA₁C₁C．
（2）因為棱柱ABC-A₁B₁C₁是三棱柱，AA₁⊥底面ABC
所以CC₁⊥平面 ABC．因為AC?平面ABC，所以AC⊥CC₁．
又因為AC⊥BC，CC₁?平面 BCC₁ B₁，BC?平面BCC₁B₁，BC∩CC₁=C，
所以AC⊥平面BCC₁B₁．又因為BC₁?平面BCC₁B₁，所以B₁C⊥AC．
因為BC=CC₁，所以矩形BCC₁B₁是正方形，因此BC₁⊥B₁C．
因為AC，B₁C?平面B₁AC，AC∩B₁C=C，所以BC₁⊥平面AB₁C．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．