Question

12．若橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過點(diǎn)（2，1），離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左、右焦點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P與F₁，F(xiàn)₂的距離之比為$\frac{1}{3}$，求直線$x-\sqrt{2}y+\sqrt{3}=0$被點(diǎn)P所在的曲線C₂截得的弦長(zhǎng)；
（2）設(shè)A₁，A₂分別為橢圓C₁的左、右頂點(diǎn)，Q為C₁上異于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，直線A₁Q交C₁的右準(zhǔn)線于點(diǎn)M，直線A₂Q交C₁的右準(zhǔn)線于點(diǎn)N，試問$\overrightarrow{M{F_2}}•\overrightarrow{N{F_2}}$是否為定值，若是，求出其定值，若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出a，b，c的值，從而求出曲線C₂的方程，進(jìn)而求出弦長(zhǎng)即可；
（2）分別求出直線A₁Q和直線A₂Q的方程，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，從而求出$\overrightarrow{M{F_2}}•\overrightarrow{N{F_2}}$，判斷即可．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）過點(diǎn)（2，1），
∴$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1①，又其離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}^{2}{-b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴b²=$\frac{1}{2}$a²②，
把②代入①得：a²=6③，
把③代入②得：b²=3，
∴橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，其焦點(diǎn)在x軸上，
又c=$\sqrt{{a}^{2}{-b}^{2}}$=$\sqrt{6-3}$=$\sqrt{3}$，
∴其左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），
由已知條件得：$\frac{\sqrt{{（x+\sqrt{3}）}^{2}{+y}^{2}}}{\sqrt{{（x-\sqrt{3}）}^{2}{+y}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，化簡(jiǎn)得：2x²+2y²+5$\sqrt{3}$x+6=0，
∴點(diǎn)P所在的曲線C₂的方程為：2x²+2y²+5$\sqrt{3}$x+6=0，即${（x+\frac{5\sqrt{3}}{4}）}^{2}$+y²=${（\frac{3\sqrt{3}}{4}）}^{2}$，
曲線C₂為圓，圓心坐標(biāo)為O′（-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，0），半徑r=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
設(shè)圓心O′到直線x-$\sqrt{2}$y+$\sqrt{3}$=0的距離為d=$\frac{|-\frac{5\sqrt{3}}{4}-0+\sqrt{3}|}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{4}$，
∴直線x-$\sqrt{2}$y+$\sqrt{3}$=0被曲線C₂所截弦長(zhǎng)為2×$\sqrt{{（\frac{3\sqrt{3}}{4}）}^{2}{-（\frac{1}{4}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，；
（2）證明：設(shè)Q（x₀，y₀），（y₀≠0），
由（1）的結(jié)論可知A₁（-$\sqrt{6}$，0），A₂（$\sqrt{6}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
橢圓C₂的右準(zhǔn)線方程為x=2$\sqrt{3}$，
∴直線A₁Q的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{6}}$（x+$\sqrt{6}$），
令x=2$\sqrt{3}$，則y=$\frac{{y}_{0}（2\sqrt{3}+\sqrt{6}）}{{x}_{0}+\sqrt{6}}$
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（2$\sqrt{3}$，$\frac{{y}_{0}（2\sqrt{3}+\sqrt{6}）}{{x}_{0}+\sqrt{6}}$），
同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)是N（2$\sqrt{3}$，$\frac{{y}_{0}（2\sqrt{3}-\sqrt{6}）}{{x}_{0}-\sqrt{6}}$），
∵點(diǎn)Q（x₀，y₀）（y₀≠0）在橢圓C₁上，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{6}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1，即${{x}_{0}}^{2}$+2${{y}_{0}}^{2}$=6，${{x}_{0}}^{2}$-6=-2${{y}_{0}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{M{F_2}}=（{\sqrt{3}，\frac{{{y_0}（2\sqrt{3}+\sqrt{6}）}}{{{x_0}+\sqrt{6}}}}）$，$\overrightarrow{N{F_2}}=（{\sqrt{3}，\frac{{{y_0}（2\sqrt{3}-\sqrt{6}）}}{{{x_0}-\sqrt{6}}}}）$，
∴$\overrightarrow{M{F_2}}•\overrightarrow{N{F_2}}=3+\frac{6y_0^2}{x_0^2-6}=0$，
∴$\overrightarrow{M{F_2}}•\overrightarrow{N{F_2}}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓問題，考查直線和圓錐曲線的綜合問題，考查計(jì)算能力，是一道綜合題．