Question

11．已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx．
（1）若f（x）=2f（-x），求$\frac{co{s}^{2}x-sinxcosx}{1+si{n}^{2}x}$的值；
（2）求函數(shù)F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）的最大值和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意可求f（-x）=cosx-sinx，又f（x）=2f（-x），化簡(jiǎn)可得tanx=$\frac{1}{3}$，由倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)所求后即可計(jì)算得解．
（2）利用倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)公式可求F（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分為9分）
解：（1）∵f（x）=sinx+cosx．
∴f（-x）=cosx-sinx，
又∵f（x）=2f（-x），
∴sinx+cosx=2（cosx-sinx），且cosx≠0，
∴3sinx=cosx，
∴tanx=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{co{s}^{2}x-sinxcosx}{1+si{n}^{2}x}$=$\frac{co{s}^{2}x-sinxcosx}{2si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{1-tanx}{2ta{n}^{2}x+1}$=$\frac{1-\frac{1}{3}}{2×（\frac{1}{3}）^{2}+1}$=$\frac{6}{11}$…4分
（2）F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）
=（sinx+cosx）（cosx-sinx）+（sinx+cosx）²
=2cos²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x+1
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，…6分
∴當(dāng)sin（2x+$\frac{π}{4}$）=1時(shí)，F(xiàn)（x）_min=$\sqrt{2}+1$，
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$2k$π+\frac{π}{2}$（k∈Z），可得：kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$（k∈Z），
∴函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）…9分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．