Question

5．已知m，n是正實數(shù)，且n＞m，若P=（1+m）ⁿ，Q=（1+n）^m，則（　　）

• A． P≥Q
• B． P＜Q
• C． P＞Q
• D． P，Q大小關系無法確定

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{x}{ln（1+x）}$，利用導數(shù)法，分析函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故當n＞m＞0，則$\frac{n}{ln（1+n）}$＞$\frac{m}{ln（1+m）}$，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，化為指數(shù)式，可得答案．

解答 解：令f（x）=$\frac{x}{ln（1+x）}$，則f′（x）=$\frac{ln（1+x）-\frac{x}{1+x}}{{ln}^{2}（1+x）}$，
令h（x）=$ln（1+x）-\frac{x}{1+x}$，
則h′（x）=$\frac{1}{1+x}-\frac{1}{（1+x）^{2}}$=$\frac{x}{{（1+x）}^{2}}$，
當-1＜x＜0時，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)；
當x＞0時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)；
故h（x）≥h（0）=0，
故f′（x）≥0在（-1，+∞）上恒成立，故f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)，
當n＞m＞0，
則$\frac{n}{ln（1+n）}$＞$\frac{m}{ln（1+m）}$，
則nln（1+m）＞mln（1+n），
則ln（1+m）ⁿ＞ln（1+n）^m，
即（1+m）ⁿ＞（1+n）^m，
即P＞Q，
故選：C．

點評 本題考查的知識點是導數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，本題需要構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{x}{ln（1+x）}$，再進行轉(zhuǎn)化，難度較大．