Question

4．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，則解關(guān)于x的不等式f（$\sqrt{x}$-log₂x）＞0的解集為（0，4）．

Answer 1

分析 可令x=y=0，求得f（0）=0，再由y=-x，可得f（x）為奇函數(shù)，由單調(diào)性的定義，可得f（x）為增函數(shù)，不等式f（$\sqrt{x}$-log₂x）＞0，即為f（$\sqrt{x}$-log₂x）＞f（0），即$\sqrt{x}$＞log₂x，畫出函數(shù)的圖象即可得到解集．

解答 解：由f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，可得f（0）=0，
令y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即f（x）為奇函數(shù)，
令m＜n，即n-m＞0，
由當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，可得f（n-m）＞0，
即為f（n）+f（-m）＞0，即f（n）-f（m）＞0，
則f（x）為R上的增函數(shù)；
不等式f（$\sqrt{x}$-log₂x）＞0，即為f（$\sqrt{x}$-log₂x）＞f（0），
即有$\sqrt{x}$-log₂x＞0，即$\sqrt{x}$＞log₂x，
作出函數(shù)y=log₂x，y=$\sqrt{x}$的圖象，可得交點(diǎn)為（4，2），
可得不等式的解集為（0，4）．
故答案為：（0，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用：解不等式，注意運(yùn)用圖象，屬于中檔題．