Question

2．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，點M在平面PBC內，且AM=7，設異面直線AM與BC所成角為α，則cosα的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{7}$
• B． $\frac{3}{7}$
• C． $\frac{6}{7}$
• D． $\frac{4\sqrt{3}}{7}$

Answer 1

分析 取BC中點N，連結AN，PN，則可證△PAN是等邊三角形，過A作平面PBC的垂線AO，則O為PN的中點，求出AO的長，利用勾股定理可得出OM的長，即M的軌跡．以O為坐標原點建立空間坐標系，設M的坐標（x，y，0），求出$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{BC}$的坐標，利用向量求出夾角，根據(jù)x，y的范圍得出cosα的最值．

解答 解：取BC中點N，連結AN，PN，∵AB=AC=PB=PC=10，BC=12，∴AN=PN=8，
∵PA=8，∴△PAN是等邊三角形，∠ANP=60°．
∵AN⊥BC，PN⊥BC，∴∠ANP為二面角A-BC-P的平面角．
過A作AO⊥平面PBC，連結OM，則O為PN的中點，∴ON=$\frac{1}{2}$PN=4，∴AO=$\sqrt{A{N}^{2}-O{N}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∴OM=$\sqrt{A{M}^{2}-A{O}^{2}}$=1．∴M的軌跡是以O為圓心，以1為半徑的圓．
以平面PBC內過O點平行于BC的直線為x軸，以PN為y軸，以OA為z軸建立空間直角坐標系如圖．
則A（0，0，4$\sqrt{3}$），B（-6，4，0），C（6，4，0），設M（x，y，0），則x²+y²=1．
$\overrightarrow{AM}$=（x，y，-4$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（12，0，0）．|$\overrightarrow{AM}$|=7，|$\overrightarrow{BC}$|=12，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}$=12x．
∴cosα=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{12x}{12×7}$=$\frac{x}{7}$．
∴當x=1時，cosα取得最大值$\frac{1}{7}$．
故選A．

點評 本題考查了空間角的計算，常使用向量來計算．