Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₁+a₂=10，S₅=40．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁+a₂=10，S₅=40．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+d）=10}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=40}\end{array}\right.$，解得a₁=4，d=2．
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{4}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{4}（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{n}{8（n+2）}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．