Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列．
（Ⅰ）推導(dǎo){a_n}的前n項(xiàng)和S_n公式；
（Ⅱ）證明數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （I）由等差數(shù)列的性質(zhì)，利用“倒序相加”即可得出；
（II）$\frac{S_n}{n}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}$，利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義即可證明．

解答 （Ⅰ）解：S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_nS_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-1）d]①，
S_n=a_n+（a_n-d）+（a_n-2d）+…+[a_n-（n-1）d]②
①+②得$2{S_n}=\overbrace{（{{a_1}+{a_n}}）+（{{a_1}+{a_n}}）+…+（{{a_1}+{a_n}}）}^{n個(gè)}=n（{{a_1}+{a_n}}）$，
∴${S_n}=\frac{{n（{{a_1}+{a_n}}）}}{2}$．
（II）證明：∵$\frac{S_n}{n}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}$，
當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{S_1}{1}=\frac{{{a_1}+{a_1}}}{2}={a_1}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{S_n}{n}-\frac{{{S_{n-1}}}}{n-1}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}-\frac{{{a_1}+{a_{n-1}}}}{2}=\frac{{{a_n}-{a_{n-1}}}}{2}=\frace0askuc{2}$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是以a₁為首項(xiàng)，$\fracakuoaai{2}$為公差的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、“倒序相加”、遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．