Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)P（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），且c=$\sqrt{2}$，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若Q為C上的動(dòng)點(diǎn)，求QA的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{2^{2}}=1}\\{{a}^{2}-^{2}=2}\end{array}\right.$，從而解得．
（2）利用參數(shù)法設(shè)Q（2cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），從而可得|AQ|=$\sqrt{（2cosθ-1）^{2}+（\sqrt{2}sinθ）^{2}}$，從而解得．

解答 解：（1）由題意得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{2^{2}}=1}\\{{a}^{2}-^{2}=2}\end{array}\right.$，
解得，b²=2，a²=4，
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）設(shè)Q（2cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），
則|AQ|=$\sqrt{（2cosθ-1）^{2}+（\sqrt{2}sinθ）^{2}}$
=$\sqrt{2（cosθ-1）^{2}+1}$，
故當(dāng)cosθ=-1，即點(diǎn)Q（-2，0）時(shí)，
|AQ|_max=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的應(yīng)用及參數(shù)法的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．