Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若b=1，B=$\frac{π}{3}$，
（1）若a+c=2，解此三角形；   
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和正弦定理求出a和c，代入已知條件后利用內(nèi)角和定理、兩角和與差的正弦公式化簡，由角A的范圍求出角A，再求出角C，即可求出a、b、c；
（2）根據(jù)題意和余弦定理列出方程，再利用基本不等式求出ac的范圍，代入三角形的面積公式即可求出它的最大值．

解答 解：（1）∵b=1，B=$\frac{π}{3}$，∴由正弦定理得$\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}$，
則$c=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinC$，同理可得$a=\frac{2}{\sqrt{3}}sinA$，
∵a+c=2，∴$\frac{2}{\sqrt{3}}sinA+\frac{2}{\sqrt{3}}sinC$=2，
∵C=π-A-B=$\frac{2π}{3}-A$，∴$sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）=\sqrt{3}$，
則$sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA=\sqrt{3}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA=1$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）$=1，由0＜A＜π得，A+$\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，則A=$\frac{π}{3}$，
∴$C=\frac{π}{3}$，則△ABC是等邊三角形，即a=b=c=1；
（2）∵b=1，B=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
∴1=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤1，當(dāng)且僅當(dāng)時a=c等號成立，
則△ABC面積S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{\sqrt{3}}{4}ac$≤$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴△ABC面積的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（15分）

點(diǎn)評 本題考查正弦、余弦定理，基本不等式，以及兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．