Question

16．雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F，離心率e，過(guò)點(diǎn)F斜率為1的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為M，若|FM|等于半焦距，則e²等于（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$或$\sqrt{2}$
• D． 3-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)F（-c，0），過(guò)點(diǎn)F斜率為1的直線(xiàn)設(shè)為y=x+c，代入漸近線(xiàn)方程y=±$\frac{a}$x，可得A，B的坐標(biāo)，求得中點(diǎn)M的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合離心率公式即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)F（-c，0），
過(guò)點(diǎn)F斜率為1的直線(xiàn)設(shè)為y=x+c，
代入漸近線(xiàn)方程y=±$\frac{a}$x，可得
A（$\frac{ac}{b-a}$，$\frac{bc}{b-a}$），B（$\frac{ac}{-b-a}$，$\frac{-bc}{-b-a}$），
可得AB的中點(diǎn)M（$\frac{{a}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}$），
即有|FM|=$\sqrt{（\frac{{a}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}+c）^{2}+（\frac{^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}）^{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$=c，
即有a²=（1+$\sqrt{2}$）b²，即為b²=（$\sqrt{2}$-1）a²，
可得c²=a²+b²=$\sqrt{2}$a²，
即有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法，注意運(yùn)用漸近線(xiàn)方程和直線(xiàn)方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．