Question

16．已知函數(shù)f（x）=x（e^x+2x-1）+$\frac{1}{2}$．
（1）求證：函數(shù)F（x）=f（x）-x³-$\frac{1}{2}$僅有一個零點；
（2）記max{a，b}表示a，b中更大的數(shù)，比如max{3，-1}=3，max{$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$}=$\sqrt{2}$．設(shè)g（x）=ln|x|-|x|+1，h（x）=max{f（x），g（x）}（x≠0），求證：h（x）＞$\frac{3e-8}{8e}$．

Answer 1

分析 （1）F（x）=f（x）-x³-$\frac{1}{2}$=x（e^x+2x-1-x²）．由于F（0）=0，可得函數(shù)F（x）存在一個零點0．令G（x）=e^x+2x-1-x²．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．
（2）函數(shù)f（x）=x（e^x+2x-1）+$\frac{1}{2}$．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得：當(dāng)x＞0時，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．于是f（x）≥f（0）=$\frac{1}{2}$．
g（x）=ln|x|-|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-x+1，x＞0}\\{ln（-x）+x+1，x＜0}\end{array}\right.$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得：g（x）≤0恒成立．綜上可知：h（x）=max{f（x），g（x）}（x≠0）=f（x）．
要證明h（x）=f（x）＞$\frac{3e-8}{8e}$．證明$\frac{3e-8}{8e}$＜$\frac{1}{2}$即可得出．

解答 證明：（1）F（x）=f（x）-x³-$\frac{1}{2}$=x（e^x+2x-1）+$\frac{1}{2}$-x³-$\frac{1}{2}$=x（e^x+2x-1-x²）．
∵F（0）=0，∴函數(shù)F（x）存在一個零點0．
令G（x）=e^x+2x-1-x²．
則G′（x）=e^x+2-2x，
G^″（x）=e^x-2，可知：當(dāng)x=ln2時，函數(shù)G′（x）取得最小值，
∴G′（x）≥G′（ln2）=4-2ln2＞0，
∴函數(shù)G（x）在R上單調(diào)遞增．
由于G（0）=0，
當(dāng)x＜0時，G（0）＜0，則F（x）=xG（x）＞0；
當(dāng)x＞0時，G（0）＞0，則F（x）=xG（x）＞0．
因此：函數(shù)F（x）=f（x）-x³-$\frac{1}{2}$僅有一個零點．
（2）函數(shù)f（x）=x（e^x+2x-1）+$\frac{1}{2}$．
f′（x）=e^x+xe^x+4x-1，
f^″（x）=2e^x+xe^x+4，
f^（3）（x）=3e^x+xe^x=（3+x）e^x，
可知當(dāng)x=-3時，f^″（x）取得最小值，f^″（-3）=2-e^-3＞0．
∴f′（x）在R上單調(diào)遞增，f′（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，無最大值；當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）≥f（0）=$\frac{1}{2}$．
g（x）=ln|x|-|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-x+1，x＞0}\\{ln（-x）+x+1，x＜0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＞0時，g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，可知：當(dāng)x=1時，函數(shù)g（x）取得極大值即最大值，g（1）=0．
當(dāng)x＜0時，g′（x）=$\frac{-1}{-x}$+1=$\frac{1}{x}$+1=$\frac{1+x}{x}$，可知：當(dāng)x=-1時，函數(shù)g（x）取得極大值即最大值，g（-1）=0．
∴g（x）≤0恒成立．
綜上可知：h（x）=max{f（x），g（x）}（x≠0）=f（x）．
要證明h（x）=f（x）＞$\frac{3e-8}{8e}$．而$\frac{3e-8}{8e}$-$\frac{1}{2}$=$-\frac{1}{8}$-$\frac{1}{e}$＜0．∴$\frac{3e-8}{8e}$＜$\frac{1}{2}$=f（x）．
因此h（x）＞$\frac{3e-8}{8e}$成立．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、證明不等式、函數(shù)零點，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．