Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x²+y²=1，O₁：（x-4）²+y²=4，動(dòng)點(diǎn)P在直線x+$\sqrt{3}$y-b=0上，過(guò)P分別作圓O，O₁的切線，且點(diǎn)分別為A，B，若滿足PB=2PA的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是-$\frac{20}{3}$＜b＜4．

Answer 1

分析 求出P的軌跡方程，動(dòng)點(diǎn)P在直線x+$\sqrt{3}$y-b=0上，滿足PB=2PA的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)，轉(zhuǎn)化為直線與圓x²+y²+$\frac{8}{3}$x-$\frac{16}{3}$=0相交，即可求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：由題意O（0，0），O₁（4，0）．設(shè)P（x，y），則
∵PB=2PA，
∴（x-4）²+y²=4（x²+y²），
∴x²+y²+$\frac{8}{3}$x-$\frac{16}{3}$=0，
圓心坐標(biāo)為（-$\frac{4}{3}$，0），半徑為$\frac{8}{3}$，
∵動(dòng)點(diǎn)P在直線x+$\sqrt{3}$y-b=0上，滿足PB=2PA的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)，
∴直線與圓x²+y²+$\frac{8}{3}$x-$\frac{16}{3}$=0相交，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|-\frac{4}{3}-b|}{\sqrt{1+3}}$＜$\frac{8}{3}$，
∴-$\frac{4}{3}$-$\frac{16}{3}$＜b＜-$\frac{4}{3}$+$\frac{16}{3}$
故答案為：-$\frac{20}{3}$＜b＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)b的取值范圍，考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．