Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{6x}{{x}^{2}+1}$．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）求滿足不等式f（2^x）＞2^x的實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可看出f（x）為奇函數(shù)，求f（x）的定義域?yàn)镽，且容易得到f（-x）=-f（x），從而證出f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）由原不等式可以得到$\frac{6•{2}^{x}}{{2}^{2x}+1}＞{2}^{x}$，可化簡(jiǎn)成2^2x＜5，不等式兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)便可得出實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）為奇函數(shù)，證明如下：
f（x）的定義域?yàn)镽，f（-x）=$\frac{-6x}{{x}^{2}+1}=-f（x）$；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）由f（2^x）＞2^x得，$\frac{6•{2}^{x}}{{2}^{2x}+1}＞{2}^{x}$；
∴$\frac{6}{{2}^{2x}+1}＞1$；
整理成2^2x＜5；
∴2x＜log₂5；
∴$x＜\frac{lo{g}_{2}5}{2}$；
即$x＜lo{g}_{2}\sqrt{5}$；
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為（-∞，$lo{g}_{2}\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義及判斷方法和過(guò)程，指數(shù)函數(shù)的值域，分式不等式的解法，以及指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．