Question

18．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）已知函數(shù)g（x）=1n（1+x）-x+$\frac{k}{2}$x²（k≥0），討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）對(duì)函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x進(jìn)行求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，求出參數(shù)a的取值范圍；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論k的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出g（x）的單調(diào)性問(wèn)題．

解答 解：（1）y=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
則必有$\frac{a}{3}$≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0；
實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]；
（2）函數(shù)g（x）的定義域是（-1，+∞），
g′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1+kx=$\frac{x[kx+（k-1）]}{x+1}$，
①k=0時(shí)，g′（x）=-$\frac{x}{x+1}$，
令g′（x）＞0，解得：x＜0，令g′（x）＜0，解得：x＞0，
∴g（x）在（-1，0）遞增，在（0，1）遞減；
②0＜k＜1時(shí)，-$\frac{k-1}{k}$＞0，
令g′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{k-1}{k}$或x＜0，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜-$\frac{k-1}{k}$，
∴g（x）在（-1，0）遞增，在（0，-$\frac{k-1}{k}$）遞減，在（-$\frac{k-1}{k}$，+∞）遞增；
③k≥0時(shí)，-$\frac{k-1}{k}$≤0，
令g′（x）＞0，解得：x＜-$\frac{k-1}{k}$或x＞0，
令g′（x）＜0，解得：-$\frac{k-1}{k}$＜x＜0，
∴g（x）在（-1，-$\frac{k-1}{k}$）遞增，在（-$\frac{k-1}{k}$，0）遞減，在（0，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 主要考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運(yùn)用，函數(shù)的單調(diào)性特征與導(dǎo)數(shù)之間的綜合應(yīng)用能力，把兩個(gè)知識(shí)加以有機(jī)會(huì)組合．特別，在研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或決斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，三個(gè)基本步驟不可省，一定要在定義域內(nèi)加以求解單調(diào)區(qū)間或判斷單調(diào)性．