Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1（n∈N^*）．則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知得S_n+1-S_n=S_nS_n+1，S₁=a₁=-1，從而得到{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首項為-1，公差為-1的等差數(shù)列，進而求出S_n=-$\frac{1}{n}$，由此能求出a_n．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1（n∈N^*），
∴S_n+1-S_n=S_nS_n+1，S₁=a₁=-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，$\frac{1}{{S}_{1}}$=-1，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首項為-1，公差為-1的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1+（n-1）×（-1）=-n．
∴S_n=-$\frac{1}{n}$，
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-$\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}$=$\frac{1}{n（n-1）}$，
n=1時，不成立，∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．