Question

13．已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，它的準(zhǔn)線方程為y=$\frac{1}{4}$，拋物線上的點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，B、C是拋物線上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn)．
（1）若直線AB與直線AC的斜率互為相反數(shù)，求直線BC的斜率；
（2）在（1）的條件下，求線段BC的中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）先求出拋物線的方程，再利用AB，AC斜率相加為0，即可求直線BC的斜率；
（2）在（1）的條件下，求出線段BC的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求線段BC的中點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，它的準(zhǔn)線方程為y=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線解析式為y=-x²，點(diǎn)A（1，-1）
設(shè)B（x₁，-x₁²），C（x₂，-x₂²），
∵AB，AC斜率相加為0，k_AB=$\frac{-{{x}_{1}}^{2}+1}{{x}_{1}-1}$=-x₁-1，k_AC=-x₂-1，
∴-x₁-1-x₂-1=0，
∴x₁+x₂=-2，
∴k_BC=-（x₁+x₂）=2；
∵AB，AC斜率相加為0；
（2）設(shè)BC方程為y=2x+b，
聯(lián)立拋物線與直線方程得x²+2x+b=0，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=b，
∴y₁+y₂=-4+2b，
∴線段BC的中點(diǎn)P（-1，-2+b），
∴P的軌跡方程式為x+1=0．

點(diǎn)評 本題考查拋物線、直線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．