Question

10．在△ABC中，若b²+c²=2bcsinAtanB+a²，則這個(gè)三角形的形狀是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 銳角三角形
• C． 鈍角三角形
• D． 不確定

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可得cosA=sinA$•\frac{sinB}{cosB}$，利用兩角和的余弦函數(shù)公式可得cos（A+B）=0，由tanAtanB=1可得A+B∈（0，π），進(jìn)而求得A+B，利用三角形內(nèi)角和定理可求C=$\frac{π}{2}$，從而得解三角形的形狀．

解答 解：在△ABC中，根據(jù)余弦定理知：b²+c²=2bccosA+a²，
又∵b²+c²=2bcsinAtanB+a²，
∴cosA=sinAtanB=sinA$•\frac{sinB}{cosB}$，①
∴可得cosAcosB-sinAsinB=0，
∴cos（A+B）=0，
∵由①可得：tanAtanB=1，A，B為三角形內(nèi)角，
∴A，B均為銳角，A+B∈（0，π），
∴A+B=$\frac{π}{2}$，C=π-A-B=$\frac{π}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，兩角和的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形內(nèi)角和定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．