Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），且離心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過定點(diǎn)$P（{\frac{1}{5}，0}）$，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由離心率得到a，c，b的關(guān)系，進(jìn)一步把橢圓方程用含有c的代數(shù)式表示，再結(jié)合點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上求得c，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0得到m²＜4k²+3，再結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系得到MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），求出MN的垂直平分線l′方程，由P在l′上，得到4k²+8km+3=0．結(jié)合m²＜4k²+3求得k的取值范圍

解答 解：（Ⅰ）由題意橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$ 得a=2c，∴b²=a²-c²=3c²，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{x}^{2}}$=1，
又點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上
∴$\frac{1}{4{x}^{2}}+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
∴c²=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）設(shè)設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，
消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∵直線y=kx+m與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3，
又x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，
∴MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），
設(shè)MN的垂直平分線l'方程：$y=-\frac{1}{k}（x-\frac{1}{5}）$
∵p在l′上$\frac{3m}{{3+4{k^2}}}=-\frac{1}{k}（-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}-\frac{1}{5}）$
即4k²+5km+3=0，$m=-\frac{{4{k^2}+3}}{5k}$，
將上式代入得$\frac{{{{（4{k^2}+3）}^2}}}{{25{k^2}}}＜4{k^2}+3$，
∴${k^2}＞\frac{1}{7}$，
即 $k＞\frac{{\sqrt{7}}}{7}或k＜-\frac{{\sqrt{7}}}{7}$
∴k的取值范圍為$（-∞，-\frac{{\sqrt{7}}}{7}）∪（\frac{{\sqrt{7}}}{7}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線間的關(guān)系，涉及直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，是中檔題．