Question

11．已知$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-2x-10y+18≤0}\\{y≥|{x-a}|+5}\end{array}}$，x，y∈R，若由不等式組圍成的區(qū)域?yàn)镻，設(shè)兩曲線的交點(diǎn)為A，B，C（a，5）且C∈P；
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=0，求△ABC的面積；
（Ⅲ）求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知：C（a，5）且C∈P，可得不等式，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）由題意知：AC⊥BC，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求△ABC的面積；
（Ⅲ）延長(zhǎng)AC交圓于點(diǎn)B'，求出點(diǎn)（1，5）到直線l：x-a-y+5=0的距離，表示出面積，利用基本不等式求△ABC的面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知：C（a，5）且C∈P，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+25-2a-32≤0}\\{5≥|a-a|+5}\end{array}\right.$，∴$1-2\sqrt{2}＜a＜1+2\sqrt{2}$
（Ⅱ）由題意知：AC⊥BC
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-2x-10y+18=0}\\{y=x+5}\end{array}}\right.$知$x=\frac{{1±\sqrt{15}}}{2}$
∴${S_△}=\frac{1}{2}|{AC}||{BC}|=\frac{1}{2}|{\frac{{1-\sqrt{15}}}{2}•\sqrt{2}}|•|{\frac{{1+\sqrt{15}}}{2}•\sqrt{2}}|=\frac{7}{2}$
（Ⅲ） 延長(zhǎng)AC交圓于點(diǎn)B'
點(diǎn)（1，5）到直線l：x-a-y+5=0的距離為：$d=\frac{{|{1-a-5+5}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{a-1}|}}{{\sqrt{2}}}$
∴$|{AB'}|=2\sqrt{8-{d^2}}=2\sqrt{8-\frac{{{{（{a-1}）}^2}}}{2}}$
∴${S_△}=\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}AC•B'C≤\frac{1}{2}{（\frac{AC+B'C}{2}）^2}=\frac{1}{2}\frac{{{{|{AB'}|}^2}}}{2}=\frac{1}{2}[8-\frac{{{{（a-1）}^2}}}{2}]≤4$
當(dāng)且僅當(dāng)AC=B'C，a=1時(shí)等號(hào)成立
∴當(dāng)a=1時(shí)，△ABC的面積的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)圓、直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．