Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+alnx+1（x＞0）．
（1）若f（3）=5，求f（$\frac{1}{3}$）的值；
（2）若x＞0時，f（x）≥1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（3）=5得出aln3=-5，再求出f（$\frac{1}{3}$）的值．
（2）alnx≥-x²．然后討論lnx的符號分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求-$\frac{{x}^{2}}{lnx}$得最大值或最小值問題．

解答 解：（1）∵f（3）=10+aln3=5，∴aln3=-5．∴f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{10}{9}$+aln$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{9}$-aln3=$\frac{10}{9}+5$=$\frac{55}{9}$．
（2）∵x²+alnx+1≥1，∴alnx≥-x²．
①若lnx=0，即x=1時，顯然上式恒成立．
②若lnx＞0，即x＞1時，a≥-$\frac{{x}^{2}}{lnx}$．令g（x）=-$\frac{{x}^{2}}{lnx}$．則g′（x）=$\frac{x（1-2lnx）}{l{n}^{2}x}$，
∴當(dāng)1＜x$＜\sqrt{e}$時，g′（x）＞0，當(dāng)x$＞\sqrt{e}$時，g′（x）＜0，
∴當(dāng)x=$\sqrt{e}$時，g（x）取得最大值g（$\sqrt{e}$）=-2e．∴a≥-2e．
③若lnx＜0，即0＜x＜1時，a≤-$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，由②討論可知g（x）在（0，1）上是增函數(shù)，且g（x）＞0，∴a≤0．
綜上，a的取值范圍是[-2e，0]．

點評 本題考查了函數(shù)求值及函數(shù)恒成立問題，分離參數(shù)法是常用解題方法之一．