Question

8．已知函數(shù)f（x）=asin（2ωx+φ）+b（a＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的周期為π，最大值為$\frac{3}{2}$，最小值為-$\frac{1}{2}$，且x=$\frac{π}{3}$是函數(shù)的一條對稱軸．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范圍；
（3）將函數(shù)f（x）的圖象縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$．得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的對稱中心和單調遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由圖象的對稱性求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的值域．
（3）確定函數(shù)g（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，利用正弦函數(shù)的性質，即可求函數(shù)g（x）的對稱中心和單調遞減區(qū)間．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{a+b=\frac{3}{2}}\\{-a+b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴a=1，b=$\frac{1}{2}$；
根據(jù)最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=π，可得ω=2；
再根據(jù)直線x=$\frac{π}{3}$是其圖象的一條對稱軸，可得2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可得φ=kπ-$\frac{π}{6}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
故f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（2）當x∈[0，$\frac{2π}{3}$]時，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，∴f（x）∈[0，$\frac{3}{2}$]．
（3）將函數(shù)f（x）的圖象縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$．得到函數(shù)g（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$
由4x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈z，可得x=$\frac{k}{4}$π+$\frac{π}{24}$，函數(shù)g（x）的對稱中心（$\frac{k}{4}$π+$\frac{π}{24}$，0）（k∈z）
由4x-$\frac{π}{6}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，可得x∈[$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$]
∴單調遞減區(qū)間為[$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$]（k∈z）．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由圖象的對稱性求出φ的值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．