Question

5．函數(shù)y=2x²-$\sqrt{1-{x}^{2}}$的值域為[-1，2]．

Answer 1

分析 利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：由1-x²≥0得-1≤x≤1，即函數(shù)的定義域為[-1，1]，
設(shè)t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，則0≤t≤1，則x²=1-t²，
則函數(shù)等價為y=2（1-t²）-t=-2（t+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{5}{2}$，
∵0≤t≤1，
∴此時函數(shù)為減函數(shù)，
則-1≤y≤2，
則函數(shù)的值域為[-1，2]，
故答案為：[-1，2]．

點評 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解是解決本題的關(guān)鍵．