Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，向量$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$．
（1）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的值；
（2）若$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{CD}$，求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ的值．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，對|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|取平方計算；（2）由$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{CD}$得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，列出方程解出cosθ，得到θ的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2×1×cos60°=1．∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=3．∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{CD}$，∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，即（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）=2$\overrightarrow{a}$²+5$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-3$\overrightarrow$²=8+10cosθ-3=0．
∴cosθ=-$\frac{1}{2}$．∴θ=120°．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，夾角公式，屬于基礎題．