【題目】已知函數(shù).
(1)求在點處的切線方程;
(2)若不等式恒成立,求k的取值范圍;
(3)求證:當(dāng)時,不等式成立.
【答案】(1)(2)(3)證明見解析
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到切線方程;
(2)由,即,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性,進(jìn)而得的最大值,即得的取值范圍;
(3)由(2)可知:當(dāng)時,恒成立,令,整理得:,將兩邊不等式全相加即可得到結(jié)論.
(1)函數(shù)的定義域為,
,,
∵,∴函數(shù)在點處的切線方程為,
即.
(2)由,,則,即,
設(shè),,
,,單調(diào)遞增,
,,單調(diào)遞減,
∵不等式恒成立,且,
∴,∴即可,故.
(3)由(2)可知:當(dāng)時,恒成立,
令,由于,.
故,,整理得:,
變形得:,即:時,,……,
兩邊同時相加得:,
所以不等式在上恒成立.
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【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4,最小值為1,記為.
(1)求實數(shù),的值;
(2)若不等式成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)對于任意滿足的自變量,,,…,,如果存在一個常數(shù),使得定義在區(qū)間上的一個函數(shù),恒成立,則稱函數(shù)為區(qū)間上的有界變差函數(shù),試判斷函數(shù)是否是區(qū)間上的有界變差函數(shù),若是,求出的最小值;若不是,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù),判斷有無極值,有極值時求出極值.
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【題目】已知數(shù)列,為其前項的和,滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,數(shù)列的前項和為,求證:當(dāng),時;
(3)已知當(dāng),且時有,其中,求滿足的所有的值.
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【題目】已知橢圓的兩個焦點,與短軸的一個端點構(gòu)成一個等邊三角形,且直線與圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知過橢圓的左頂點的兩條直線,分別交橢圓于,兩點,且,求證:直線過定點,并求出定點坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求在點處的切線方程;
(2)若不等式恒成立,求k的取值范圍;
(3)函數(shù),設(shè),記在上得最大值為,當(dāng)最小時,求k的值.
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【題目】某健身館在2019年7、8兩月推出優(yōu)惠項目吸引了一批客戶.為預(yù)估2020年7、8兩月客戶投入的健身消費金額,健身館隨機(jī)抽樣統(tǒng)計了2019年7、8兩月100名客戶的消費金額,分組如下:,,,…,(單位:元),得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)請用抽樣的數(shù)據(jù)預(yù)估2020年7、8兩月健身客戶人均消費的金額(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)若把2019年7、8兩月健身消費金額不低于800元的客戶,稱為“健身達(dá)人”,經(jīng)數(shù)據(jù)處理,現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù),請補全空格處的數(shù)據(jù),并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“健身達(dá)人”與性別有關(guān)?
健身達(dá)人 | 非健身達(dá)人 | 總計 | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
總計 |
(3)為吸引顧客,在健身項目之外,該健身館特別推出健身配套營養(yǎng)品的銷售,現(xiàn)有兩種促銷方案.
方案一:每滿800元可立減100元;
方案二:金額超過800元可抽獎三次,每次中獎的概率為,且每次抽獎互不影響,中獎1次打9折,中獎2次打8折,中獎3次打7折.
若某人打算購買1000元的營養(yǎng)品,請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | ||
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題:“若,為異面直線,平面過直線且與直線平行,則直線與平面的距離等于異面直線,之間的距離”為真命題.根據(jù)上述命題,若,為異面直線,且它們之間的距離為,則空間中與,均異面且距離也均為的直線的條數(shù)為( )
A.0條B.1條C.多于1條,但為有限條D.無數(shù)多條
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了普及環(huán)保知識,增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識,在全校組織了一次有關(guān)環(huán)保知識的競賽,經(jīng)過初賽、復(fù)賽,甲、乙兩個代表隊(每隊人)進(jìn)入了決賽,規(guī)定每人回答一個問題,答對為本隊贏得分,答錯得分,假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為,乙隊中人答對的概率分別為,且各人回答正確與否相互之間沒有影響,用表示乙隊的總得分.
(1)求的分布列;
(2)求甲、乙兩隊總得分之和等于分且甲隊獲勝的概率.
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