Question

17．若x₀∈R滿足f（x₀）=x₀，則稱x₀為f（x）的不動點．
（1）若函數(shù)f（x）=x²+ax+a沒有不動點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）=-lnx+3的不動點x₀∈[n，n+1]，n∈Z，求n的值；
（3）若函數(shù)f（x）=log₂（4^x+a•2^x+a+1）有不動點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不動點實際上就是方程f（x₀）=x₀的實數(shù)根．二次函數(shù)f（x）=x²+ax+a沒有不動點，是指方程x=x²+ax+a無實根．即方程x=x²+ax+a無實根，然后根據(jù)根的判別式△＜0解答即可．
（2）先轉(zhuǎn)化為兩個簡單函數(shù)判斷交點所在區(qū)間的大致范圍，再由零點判定定理確定即可．
（3）函數(shù)f（x）=log₂（4^x+a•2^x+a+1）有不動點，轉(zhuǎn)化為關于2^x的方程4^x+（a-1）•2^x+a+1=0，有正解，得到不等式求解即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得x=x²+ax+a無實數(shù)根，
即x²+（a-1）x+a=0無實數(shù)根，
∴△=（a-1）²-4a＜0，
解得：3-$2\sqrt{2}$＜a＜3+2$\sqrt{2}$；
故答案為：（3-$2\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$）．
（2）解：函數(shù)f（x）=-lnx+3的不動點x₀∈[n，n+1]，n∈Z，即lnx+x-3=0
∴l(xiāng)nx=3-x，令g（x）=lnx，h（x）=3-x在同一坐標系畫出圖象可得
由圖可知x₀＞1，令f（x）=lnx+x-3，
∵f（1）f（2）=-2（ln2-2）＞0，
f（2）f（3）=（ln2-2）ln3＜0，
f（3）f（4）=ln3（ln4+1）＞0，
可知n=2，
（3）函數(shù)f（x）=log₂（4^x+a•2^x+a+1）有不動點，可得log₂（4^x+a•2^x+a+1）=x，
轉(zhuǎn)化為關于2^x的方程4^x+（a-1）•2^x+a+1=0有正根，令t=2^x．可得t²+（a-1）t+a+1=0，
$\left\{\begin{array}{l}△={（a-1）}^{2}-4a-4≥0\\ a-1＜0\end{array}\right.$或a+1＜0，
解得：a＜1．

點評 本題主要考查函數(shù)零點所在區(qū)間的求法--圖象法和零點判定定理．將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點的問題是常用的手段．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、函數(shù)與方程的綜合運用，解答該題時，借用了一元二次方程的根的判別式與根這一知識點．