Question

2．已知p：f（x）=x²-2x+4＞m（x∈R）恒成立，q：f（x）=log_（5m-2）x在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 先將命題p，q化簡，然后由p或q為真，p且q為假，則命題p，q一真一假，分情況討論即可．

解答 解：命題p：x∈R，f（x）=x²-2x+4＞m恒成立；
則x∈R時，f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，若命題p成立，則m＜3；
命題q：f（x）=log_5m-2x上的單調(diào)增函數(shù)．則5m-2＞1，解得m＞$\frac{3}{5}$．
由條件p或q為真，p且q為假，則命題p，q一真一假，
①若p真q假，則m＜3且m≤$\frac{3}{5}$，則m≤$\frac{3}{5}$，
又5m-2為指數(shù)函數(shù)底數(shù)，5m-2＞0，且5m-2≠1即m＞$\frac{2}{5}$且m≠$\frac{3}{5}$，
則此時m的取值范圍是$\frac{2}{5}$＜m＜$\frac{3}{5}$，
②若p假q真，則m≥3且m＞$\frac{3}{5}$，則m≥3，
綜上，m的取值范圍是（-∞，$\frac{3}{5}$]∪[3，+∞）．

點評 易錯點容易忽略m為指數(shù)函數(shù)底數(shù)的要求．