Question

17．$已知函數(shù)f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{2-ax}{x-1}（{a是常數(shù)且a＜2}）$
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）在區(qū)間（2，4）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的解析式，分類(lèi)討論求得函數(shù)的定義域．
（2）由題意可得函數(shù)$t=\frac{2-ax}{x-1}$在（2，4）上是減函數(shù)，故 t′=$\frac{a-2}{{（x-1）}^{2}}$＜0，故a＜2．且當(dāng)x=4時(shí)，t=$\frac{2-4a}{4-1}$≥0，求得a≤$\frac{1}{2}$，綜合可得a的范圍．

解答 解：（1）根據(jù) f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}\frac{2-ax}{x-1}$（a＜2），可得當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}\frac{2}{x-1}$，x-1＞0，求得定義域?yàn)椋?，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}\frac{2-ax}{x-1}$（a＜2），$\frac{2-ax}{x-1}$＞0，求得定義域?yàn)椋?∞，$\frac{2}{a}$）∪（1，+∞）；
當(dāng)2＞a＞0時(shí)，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}\frac{2-ax}{x-1}$（a＜2），$\frac{2-ax}{x-1}$＞0，求得定義域?yàn)椋?，$\frac{2}{a}$）．
（2）令$t=\frac{2-ax}{x-1}$，$y={log_{\frac{1}{2}}}t$，$函數(shù)f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{2-ax}{x-1}$在（2，4）上是增函數(shù)，則函數(shù)$t=\frac{2-ax}{x-1}$在（2，4）上是減函數(shù)，
∴t′=$\frac{a-2}{{（x-1）}^{2}}$＜0，故a＜2．
當(dāng)x=4時(shí)，t=$\frac{2-4a}{4-1}$≥0，求得a≤$\frac{1}{2}$．
綜上可得，a≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求函數(shù)的定義域，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．