Question

12．已知函數(shù)f（x）=cosx+a•x，x∈R的圖象在$（\frac{π}{6}，f（\frac{π}{6}））$處的切線的斜率為0．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得a；
（2）由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=cosx+a•x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a-sinx，
由題意可得a-sin$\frac{π}{6}$=0，解得a=$\frac{1}{2}$；
（2）由f′（x）=$\frac{1}{2}$-sinx＞0，解得2kπ-$\frac{7π}{6}$＜x＜2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
由f′（x）＜0，解得2kπ+$\frac{π}{6}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即有單調(diào)增區(qū)間為（2kπ-$\frac{7π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$），
單調(diào)減區(qū)間為（2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$），k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．