Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：①a_n＞0，②a₁=2，③對任意n∈N⁺有$a_{n+1}^2-{a_n}{a_{n+1}}-2a_n^2=0$
（1）求a_n及S_n；
（2）已知數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若${b_n}+{b_{n+1}}=（{sin^2}\frac{nπ}{2}-{cos^2}\frac{nπ}{2}）•{log_2}{a_n}$；求T₂₀₁₆的值．

Answer 1

分析 （1）由條件可得a_n+1=2a_n，{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，運用等比數(shù)列的通項公式和求和公式，計算即可得到所求；
（2）化簡b_n+b_n+1=（-1）^n-1•n，令n=2k-1，k∈N⁺，得：b_2k-1+b_2k=2k-1=C_k，知數(shù)列{C_n}為等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：（1）由$a_{n+1}^2-{a_n}{a_{n+1}}-2a_n^2=0$，
⇒（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0
∵a_n＞0，∴a_n+1=2a_n，{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴${a_n}={2^n}$，${S_n}=\frac{{2（{2^n}-1）}}{2-1}={2^{n+1}}-2$；
（2）由${b_n}+{b_{n+1}}=（{sin^2}\frac{nπ}{2}-{cos^2}\frac{nπ}{2}）•{log_2}{a_n}$
=-cosnπ•n=（-1）^n-1•n，
令n=2k-1，k∈N⁺，得：b_2k-1+b_2k=2k-1=C_k
知數(shù)列{C_n}為等差數(shù)列；
∴${T_{2016}}={C_1}+{C_2}+．…+{C_{1008}}=\frac{1008（1+2×1008-1）}{2}={1008^2}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式、求和公式的運用，考查等差數(shù)列的求和公式的運用，以及對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于中檔題．