Question

7．已知直線x-y+2=0和圓C：x²+y²-8x+12=0，過直線上的一點(diǎn)P（x₀，y₀）作兩條直線PA，PB與圓C相切于A，B兩點(diǎn)．①當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）時，求以PC為直徑的圓的方程，并求直線AB的方程；
②設(shè)切線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，且k₁•k₂=-7時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 ①確定P，A，B，C四點(diǎn)共圓E，直線AB的方程是兩圓公共弦所在直線方程；
②利用直線與圓相切的充要條件、點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：①圓C：x²+y²-8x+12=0，可化為（x-4）²+y²=4，PC中點(diǎn)為（3，2），|PC|=2$\sqrt{5}$，
∴以PC為直徑的圓的方程為圓E：（x-3）²+（y-2）²=5，
∵PA⊥AC，PB⊥BC，
∴P，A，B，C四點(diǎn)共圓E，
∴直線AB的方程是兩圓公共弦所在直線方程，兩方程相減可得直線AB的方程為x-2y-2=0；
②設(shè)過P的直線l方程為y-y₀=k（x-x₀），由于⊙C與直線l相切，得到d=$\frac{|4k+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
整理得到：k²[（4-x₀）²-4]+2y₀（4-x₀）k+y₀²=4k²+4，
∴k₁•k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4}{（4-{x}_{0}）^{2}-4}$=-7
y₀=x₀+2，代入，可得2x₀²-13x₀+21=0，∴x₀=3或$\frac{7}{2}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（3，5）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{2}$）．

點(diǎn)評 熟練掌握兩圓的根軸的性質(zhì)、直線與圓相切的充要條件、點(diǎn)到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．