Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²+kx+3-k．
（1）當x∈R且k=3時，求函數(shù)的最值及單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）為增函數(shù)，求k的取值范圍；
（3）當x∈[-2，2]時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）當k=3時，f（x）=x²+3x的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{3}{2}$為對稱軸的拋物線，進而得到函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）為增函數(shù)，則-$\frac{k}{2}$≤1，解得k的取值范圍；
（3）分類討論給定區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，進而分析函數(shù)的單調(diào)性，可得不同情況下函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）當k=3時，f（x）=x²+3x的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{3}{2}$為對稱軸的拋物線，
故當x=-$\frac{3}{2}$時，函數(shù)取最小值為$-\frac{9}{4}$，…（2分）
函數(shù)f（x）=x²+3x的單調(diào)遞增區(qū)間：$（-\frac{3}{2}，+∞）$，…（4分）
函數(shù)f（x）=x²+3x的單調(diào)遞減區(qū)間：$（-∞，-\frac{3}{2}）$…（6分）
（2）函數(shù)f（x）=x²+kx+3-k的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{k}{2}$為對稱軸的拋物線，
若函數(shù)f（x）在[1，+∞）為增函數(shù)，
則-$\frac{k}{2}$≤1，
解得：k≥-2…（10分）
（3）函數(shù)f（x）=x²+kx+3-k的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{k}{2}$為對稱軸的拋物線，
當-$\frac{k}{2}$＞2，即k＜-4時，函數(shù)f（x）=x²+kx+3-k在[-2，2]上為減函數(shù)，當x=2時，函數(shù)f（x）的最小值為7+k；
當-2≤-$\frac{k}{2}$≤2，即-4≤k≤4時，函數(shù)f（x）=x²+kx+3-k在[-2，-$\frac{k}{2}$]上為減函數(shù)，在[-$\frac{k}{2}$，2]上為增函數(shù)，當x=-$\frac{k}{2}$時，函數(shù)f（x）的最小值為$-\frac{{k}^{2}}{4}-k+3$
當-$\frac{k}{2}$＜-2，即k＞4時，函數(shù)f（x）=x²+kx+3-k在[-2，2]上為增函數(shù)，當x=-2時，函數(shù)f（x）的最小值為7-3k；
綜上所述函數(shù)f（x）的最小值為$\left\{\begin{array}{l}7+k，k＜-4\\-\frac{{k}^{2}}{4}-k+3，-4≤k≤4\\ 7-3k，k＞4\end{array}\right.$．…（14分）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．