Question

4．在邊長為1的等邊△ABC中，E為AC上一點，且AC=4AE，P為BE上一點且滿足$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m＞0，n＞0）．則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$取最小值時，|$\overrightarrow{AP}$|=$\frac{\sqrt{7}}{6}$．

Answer 1

分析 由題意和平面向量基本定理可得m和n的關系，由基本不等式可得式子取最小值時的m和n的值，由向量的模長公式可得．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}$=4$\overrightarrow{AE}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AB}$+4n$\overrightarrow{AE}$，
∵P為BE上一點，不妨設$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BE}$，（0＜λ＜1），
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$）=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AE}$，
∴m$\overrightarrow{AB}$+4n$\overrightarrow{AE}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AE}$，
∵$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}$不共線，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1-λ}\\{4n=λ}\end{array}\right.$，
∴m+4n=1，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（m+4n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=5+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥5+2$\sqrt{\frac{4n}{m}•\frac{m}{n}}$=9，當且僅當m=$\frac{1}{3}$，n=$\frac{1}{6}$時，取等號，
∴|$\overrightarrow{AP}$|²=|m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$|²=m²|$\overrightarrow{AB}$|²+n²|$\overrightarrow{AC}$|+2mn$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=m²+n²+mn=$\frac{7}{36}$
∴|$\overrightarrow{AP}$|=$\frac{\sqrt{7}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{7}}{6}$

點評 本題考查基本不等式和平面向量基本定理以及向量的模長公式，屬中檔題．