Question

2．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且滿(mǎn)足f（4）=1，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，又知y=f′（x）的圖象如圖所示，若兩個(gè)正數(shù)a，b滿(mǎn)足，f（2a+b）＜1，則$\frac{b+2}{a+1}$的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\frac{2}{3}，6}）$
• B． $[{\frac{2}{3}，6}]$
• C． $[\frac{1}{4}，\frac{5}{2}]$
• D． $（{\frac{1}{4}，\frac{5}{2}}）$

Answer 1

分析 本題屬于線性規(guī)劃中的延伸題，對(duì)于可行域不要求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，根據(jù)$\frac{b+2}{a+1}$表示的幾何意義是可行域中的點(diǎn)與（-1，-2）的連線的斜率問(wèn)題．由圖象可得結(jié)論．

解答 解：由導(dǎo)函數(shù)圖象，可知函數(shù)在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)
∵f（4）=1，正數(shù)a，b滿(mǎn)足f（2a+b）＜1
∴0＜2a+b＜4，a＞0，b＞0
又因?yàn)?\frac{b+2}{a+1}$ 表示的是可行域中的點(diǎn)與（-1，-2）的連線的斜率．
所以當(dāng)（-1，-2）與A（0，4）相連時(shí)斜率最大，為6，
當(dāng)（-1，-2）與B（2，0）相連時(shí)斜率最小為$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{b+2}{a+1}$的取值范圍是（$\frac{2}{3}$，6）
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題利用直線斜率的幾何意義，求可行域中的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率．屬于線性規(guī)劃中的延伸題．