Question

17．已知直線l與曲線$y=-\frac{1}{x}$和曲線y=lnx均相切，則這樣的直線l的條數(shù)為1．

Answer 1

分析 設(shè)出兩切點（m，n），（s，t），求出導(dǎo)數(shù)，由兩點的斜率公式，可有$\frac{1}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{s}$=$\frac{n-t}{m-s}$=$\frac{\frac{-1}{m}-lns}{m-s}$，化簡整理可得即為$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{-m}$=ln（-m），（m＜0），令x=-m，則有l(wèi)nx=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{x}$，令f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{x}$，運用零點存在定理，即可判斷零點個數(shù)，進而得到公切線條數(shù)．

解答 解：設(shè)與曲線y=-$\frac{1}{x}$（x＜0）和曲線y=lnx相切的切點分別為（m，n），（s，t），
則n=-$\frac{1}{m}$，t=lns，（m＜0，s＞0），
由（-$\frac{1}{x}$）′=$\frac{1}{{x}^{2}}$，（lnx）′=$\frac{1}{x}$，
即有$\frac{1}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{s}$=$\frac{n-t}{m-s}$=$\frac{\frac{-1}{m}-lns}{m-s}$，
即m²=s，1-m=-1-mlns，
即為$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{-m}$=ln（-m），（m＜0），
令x=-m，則有l(wèi)nx=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{x}$，
令f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{x}$，
f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，f（x）遞增，
f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3-$\frac{5}{6}$＞0，
由零點存在定理可得f（x）=0有且只有一個實根，
即有m唯一，s唯一，
則有公切線的條數(shù)為1．
故答案為：1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點處的切線斜率，運用兩點的斜率公式和零點存在定理是解題的關(guān)鍵．